Площадь сегмента круга

Как найти площадь сегмента круга

Сегмент круга — это часть круга, ограниченная дугой и хордой. Он является важным элементом в геометрии, архитектуре и инженерных расчетах. Площадь сегмента круга можно рассчитать с помощью известных радиуса окружности и угла дуги. Для этого применяются специальные формулы, которые дают точный результат.

Формулы для расчета площади сегмента круга

1. Площадь сегмента круга (радианы)

Если угол дуги задан в радианах ($\alpha$), площадь сегмента круга ($S$) вычисляется по формуле:
\( S_{\text{сегм}} = \frac{R^2}{2} \left( \alpha - \sin \alpha \right) \)

Где:

• R — радиус окружности,
• α — угол дуги в радианах,
• sin(α) — синус угла дуги.

2. Площадь сегмента круга (градусы)

Если угол дуги ($\beta$) задан в градусах, его сначала необходимо перевести в радианы:
α = β × π / 180

После этого используется формула:
\( S_{\text{сегм}} = \frac{R^2}{2} \left( \pi \frac{\alpha^\circ}{180^\circ} - \sin(\alpha^\circ) \right) \)

Где:

• R — радиус окружности,
• β — угол дуги в градусах,
• α — угол дуги, переведенный в радианы.

Примеры расчетов

Пример 1: Площадь сегмента круга с углом в радианах

При радиусе окружности \( R = 5 \) см и угле дуги \( \alpha = 1.2 \) радиан, расчет по формуле:

Вычисляем \( \sin(\alpha) \):

\[ \sin(1.2) \approx 0.932 \]

Подставляем значения в формулу:

\[ S_{\text{сегм}} = \frac{R^2}{2} \left( \alpha - \sin \alpha \right) \]

\[ S_{\text{сегм}} = \frac{5^2}{2} \times (1.2 - 0.932) \]

\[ S_{\text{сегм}} = \frac{25}{2} \times 0.268 \]

\[ S_{\text{сегм}} = 12.5 \times 0.268 \approx 3.35 \]

Ответ: площадь сегмента круга равна \( 3.35 \) см².

Пример 2: Площадь сегмента круга с углом в градусах

При радиусе окружности \( R = 10 \) см и угле дуги \( \beta = 60^\circ \), расчет по формуле:

Переведем угол в радианы:

\[ \alpha = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \]

Вычисляем \( \sin(\alpha) \):

\[ \sin(1.047) \approx 0.866 \]

Подставляем значения в формулу:

\[ S_{\text{сегм}} = \frac{10^2}{2} \times (1.047 - 0.866) \]

\[ S_{\text{сегм}} = \frac{100}{2} \times 0.181 \]

\[ S_{\text{сегм}} = 50 \times 0.181 \approx 9.06 \]

Для чего использовать

С помощью формул и нашего онлайн калькулятора площади сегмента круга вы сможете:

• Рассчитать площадь части круга, ограниченной дугой и хордой.
• Найти площадь сегмента по углу (градусы или радианы).
• Выполнить точные геометрические расчеты для инженерных задач и учебных проектов.

Используйте наш калькулятор для удобного и быстрого расчета площади сегмента круга!